题目

一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：

3

；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．

（1）求整修后背水坡面的面积；
（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？

提问时间：2021-01-08

答案

（1）作AE⊥BC于E．
∵原来的坡度是1：0.75，∴

AE

EB

＝

1

0.75

=

4

3

，
设AE=4k，BE=3k，∴AB=5k，
又∵AB=5米，∴k=1，则AE=4米，
设整修后的斜坡为AB′，由整修后坡度为1：

3

，有tan∠AB′E=

AE

EB′

＝

1

3

，
∴∠AB′E=30°，
∴AB′=2AE=8米，∴整修后背水坡面面积为90×8=720米²．
（2）∵要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，
∴两种方案中，选择种草5块、种花4块的方案花费较少．
∵整修后背水坡面面积为720米²，
∴每一小块的面积是

720

9

=80米²，
∴需要花费20×5×80+25×4×80=16000元．

（1）本题可通过构建直角三角形来解，过A作AE⊥BC于E，直角三角形ABE中根据AB的坡度，设出AE、BE的长，然后根据勾股定理求出未知数的值，也就求出了AE、BE的长，直角三角形AB′E中，有坡度，有AE的长，就能求出AB′的长，有了AB′的长，坡的面积便可求出了；
（2）可通过不同种植方法的成本来得出最佳种植方案．

本题考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

考点点评：两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边是解决此类题目的基本出发点．