题目
证明:证 若f是[a,b]上的非负严格单调,且f(b)=1.试证:则n趋向于正无穷时积分a到b(f(x))的n次方dx趋向于0
证明:证 若f是[a,b]上的非负严格单调,且f(b)=1.试证:则n趋向于正无穷时{积分a到b[(f(x))的n次方]dx}趋向于0
证明:证 若f是[a,b]上的非负严格单调,且f(b)=1.试证:则n趋向于正无穷时{积分a到b[(f(x))的n次方]dx}趋向于0
提问时间:2021-01-08
答案
对任意b-a > ε > 0,由f(x)在[a,b]非负且严格单调递增 (不能是递减的,否则易有反例),
有0 ≤ f(b-ε/2) < f(b) = 1.
于是存在N = [ln(ε/(2b-2a))/ln(f(b-ε/2))]+1 > 0,使得当n > N时成立0 ≤ f(b-ε/2)^n < ε/(2b-2a).
因此0 ≤ ∫{a,b} f(x)^n dx = ∫{a,b-ε/2} f(x)^n dx+∫{b-ε/2,b} f(x)^n dx
≤ ∫{a,b-ε/2} f(b-ε/2)^n dx+∫{b-ε/2,b} f(b)^n dx
≤ (b-a)·f(b-ε/2)^n+ε/2
< (b-a)·ε/(2b-2a)+ε/2
= ε.
即有lim{n → ∞} ∫{a,b} f(x)^n dx = 0.
有0 ≤ f(b-ε/2) < f(b) = 1.
于是存在N = [ln(ε/(2b-2a))/ln(f(b-ε/2))]+1 > 0,使得当n > N时成立0 ≤ f(b-ε/2)^n < ε/(2b-2a).
因此0 ≤ ∫{a,b} f(x)^n dx = ∫{a,b-ε/2} f(x)^n dx+∫{b-ε/2,b} f(x)^n dx
≤ ∫{a,b-ε/2} f(b-ε/2)^n dx+∫{b-ε/2,b} f(b)^n dx
≤ (b-a)·f(b-ε/2)^n+ε/2
< (b-a)·ε/(2b-2a)+ε/2
= ε.
即有lim{n → ∞} ∫{a,b} f(x)^n dx = 0.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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