题目

某小组共有11位同学,每位同学至少要和三位同学交换意见.讨论完后又两位同学说自己和四个同学交换了意见.请证明至少还有一位同学也和四位同学交换了意见.
某次体育比赛共有n(n>=3)名选手参加,每两名选手都比赛一局,现知无平局出现,而且每个选手都未能击败所有对手.求证：其中必存在3名选手甲乙丙,使得甲胜乙,乙胜丙,丙胜甲

提问时间：2021-01-08

答案

1.依题目条件：每位同学交换意见的总次数>=4*2+3*（11-2）=8+27=35,由于两两交换意见,总次数应为偶数,故总次数最少为36,也就是至少还有一位同学也和四位同学交换了意见
2.设赢得最多的选手为A,因为每个选手都未能击败所有对手,所以存在选手B,B胜A,在A胜的选手中一定存在选手C使得A胜C而C胜B,否则A胜的选手（除B外）都败给了B,那么B胜的次数要大于A
A：甲 B：丙 C：乙
得证