题目

方程x²+

2

x-1=0的解可视为函数y=x+

2

的图象与函数y=

1

x

的图象交点的横坐标，若x⁴+ax-4=0的各个实根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）所对应的点（x_i，

4

xi

）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是 ___ ．

提问时间：2021-01-08

答案

解析：方程的根显然x≠0，原方程等价于x3+a=

4

x

，原方程的实根是曲线y=x³+a与曲线y=

4

x

的交点的横坐标；而曲线y=x³+a是由曲线y=x³向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（x_i，

4

xi

）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与y=

4

x

交点为：（-2，-2），（2，2）；

所以结合图象可得：

a>0 x3+a>-2 x≥-2

或

a<0 x3+a<2 x≤2

⇒a∈(-∞，-6)∪(6，+∞)；

原方程等价于x3+a=

4

x

，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．

本题考点：["函数与方程的综合运用"]

考点点评：华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．