题目

如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E，∠C=∠D，BC=DE，M为CD中点，求证：AM⊥CD．

提问时间：2021-01-08

答案

证明：延长AB交DC的延长线于G，延长AE交CD的延长线于H，
∵∠ABC=∠AED，∠ABC+∠GBC=180°，∠AED+∠DEH=180°，
∴∠GBC=∠DEH，
同理∠BCG=∠EDH，
在△GBC和△HDE中
∵

∠GBC＝∠HED BC＝DE ∠BCG＝∠EDH

，
∴△BCG≌△EDH，
∴BG=EH，GC=DH，∠G=∠H，
∴△AGH是等腰三角形，
∴AG=AH，GM=MH，
∴AM⊥CD（三线合一）．

证明∠AMC=90°或应用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作辅助线将五边形问题恰当地转化为三角形问题是解本例的关键．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．