题目

设函数f(X)的定义域为R+,且有:1.f(1/2)=1,2.对任意正实数x,y都有f(X*y)=f(x)+f(Y),3.f(x)为减函数
(1)求证:当x∈[1,正无穷)时,f(X)≤0
(2)求证：当x,y属于R+,都有f（x/y)=f(X)-f(Y)
(3)解不等式：f（-x）+f（3-x)≥-2

提问时间：2021-01-08

答案

(1)证明：由f(xy)=f(x)+f(y)取y=1得,f(x)=f(x)+f(1),所以f(1)=0,根据f(x)为减函数,所以x≥1时f(x)≤f(1)=0
(2)证明：当x≠0时,f(1)=f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=0,所以f(1/x)=-f(x).
那么当x,y属于R+时,f（x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)
由（2）得f(1/2)=f(1)-f(2)=-f(2)=1,即f(2)=-1,所以f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=-2
那么f（-x）+f（3-x)=f(x(x-3))≥f(4),
f(x)为减函数,所以x(x-3)≤4,=> -1≤x≤4
函数f(X)的定义域为R+,所以-x＞0,3-x＞0=>x