题目

已知函数f(x)=x/ax+b(a,b为常数,a≠0）满足f(2)=1,且f(x)=x有唯一解,如记xn=f(xn-1),且x1=1,n＞1,n
N*,求xn

提问时间：2021-01-08

答案

f(x)= x / ( ax+b)
f(2)=1 得:1= 2/(2a+b)即:2a+b=2
x / ( ax+b) = x 有唯一解,即 ax^2 + (b-1)x =0 ,a不=0,那么有判别式=0,得:b=1
所以 a=1/2 ,b=1
f(x)= x/(x/2 +1）=2x/(x+2)
xn=f(xn-1)=2x(n-1)/(x(n-1)+2)
x(n-1)=0.5xn*x(n-1)+xn
x（n-1）-xn=0.5xn*x(n-1)
两边同除以xnx(n-1)
(1/xn）-[1/x(n-1)]=1/2
∴1/xn是等差数列.
1/a1=1
1/xn=1+（n-1）*1/2=（n+1）/2
xn=2/（n+1）（n∈N*）