题目

关于x的方程a^2x+（1+lgm）a^x+1=0（a＞0且a≠1）有解，则m的取值范围是 ______．

提问时间：2021-01-07

答案

令t=a^x（t＞0），则方程转化为t²+（1+lgm）t+1=0在（0，+∞）上有解．
所以

△＝(1+lgm)2−4≥0 t＝− 1+lgm 2 ＞0

，解得lgm≤-3，所以0＜m≤10^-3
故答案为：（0，10^-3]

由题意可令t=a^x（t＞0），则方程转化为二次方程在（0，+∞）上有解，利用实根分布处理即可．

本题考点：根的存在性及根的个数判断；二次函数的性质；指数函数单调性的应用．

考点点评：本题考查二次方程实根分布问题，同时考查换元转化思想．