题目

如图,在直角坐标系中,A,B,C三点在x轴上,原点O和点B分别是线段AB和AC的中点,已知AO=m(m为常数）,
平面上点P满足PA+PB=6m.(1)求点P的轨迹C1的方程；（2）若点（x,y)在曲线C1上,求证：点（x/3,y/2根号2）一定在某圆C2上；（3）过点C作直线l与圆C2相交于M,N两点,若点N恰好是线段CM的中点,试求直线L的方程.

提问时间：2021-01-07

答案

由原题得知：A(m,0),B(-m,0),C(-3m,0)
(1)设点P(x,y)为轨迹C1上的点,PA+PB=6m
√[(x-m)^2+y^2]+√[(x+m)^2+y^2]=6
（化简省了.）
x^2/(9m^2)+y^2/(8m^2)=1
(2)对于轨迹C1上任意点P(x,y),设点Q(p,q)使得p=x/3,q=y/2√2
x=3p,y=q*2√2
∵x^2/(9m^2)+y^2/(8m^2)=1
(3p)^2/(9m^2)+(q*2√2)^2/(8m^2)=1
（化简……）
p^2+q^2=m^2
∴曲线C1上任意点（x,y),（x/3,y/2√2）在一个圆心(0,0)、半径m的圆上.
(3)设直线l交圆C2与M(a,b),则N((a-3m)/2,1/2b))
直线l的方程为y-b=(b-1/2b)/[a-(a-3m)/2](x-a)
（化简）
y=(x-3m)b/(a+3m)
由直线l上点C(-3m,0),
0=(-6m)b/(a+3m)
b=0,a=+-m
则M(m,0),N(-m,0)
∴直线l的方程是y=0