题目

g(x)=x^2-2m(lnx+x)（m>0)的最小值为0,求m

提问时间：2021-01-07

答案

g(x)=x^2-2m(lnx+x)
g(x)=x^2-2mlnx-2mx
g'(x)=2x-2m/x-2m
1、令：g'(x)＞0,即：2x-2m/x-2m＞0
①当x＞0时,有：x^2-mx-m＞0
(x-m/2)^2＞(m^2+4m)/4
x＞[m+√(m^2+4m)]/2,x＜[m-√(m^2+4m)]/2
考虑到x＞0,
所以,解得：x＞[m+√(m^2+4m)]/2
②当x＜0时,有：x^2-mx-m＜0
(x-m/2)^2＜(m^2+4m)/4
[m-(m^2+4m)]/2＜x＜[m+√(m^2+4m)]/2
考虑到x＜0
所以,解得：[m-(m^2+4m)]/2＜x＜0
综合以上,有：g(x)的单调增区间是x∈([m-√(m^2+4m)]/2,0)∪([m+√(m^2+4m)]/2,∞)
2、令：g'(x)＜0,即：2x-2m/x-2m＜0
①当x＞0时,有：x^2-mx-m＜0
(x-m/2)^2＜(m^2+4m)/4
[m-(m^2+4m)]/2＜x＜[m+√(m^2+4m)]/2
考虑到x＞0,
所以,解得：0＜x＜[m+√(m^2+4m)]/2
②当x＜0时,有：x^2-mx-m＞0
(x-m/2)^2＞(m^2+4m)/4
x＞[m+√(m^2+4m)]/2,x＜[m-√(m^2+4m)]/2
考虑到x＜0,
所以,解得：x＜[m-√(m^2+4m)]/2
综合以上,有：有：g(x)的单调减区间是x∈(-∞,[m-√(m^2+4m)]/2)∪(0,[m+√(m^2+4m)]/2)
因此,当x=[m-√(m^2+4m)]/2时,g(x)取得最小值
g(x)最小={[m-√(m^2+4m)]/2}^2-2mln{[m-√(m^2+4m)]/2}-2m[m-√(m^2+4m)]/2
{[m-√(m^2+4m)]/2}^2-2mln{[m-√(m^2+4m)]/2}-2m[m-√(m^2+4m)]/2=0
m^2-m√(m^2+4m)+(m^2+4m)/4-2mln{[m-√(m^2+4m)]/2}-m^2+m√(m^2+4m)=0
(m^2+4m)/4-2mln{[m-√(m^2+4m)]/2}=0
(m^2+4m)/4=mln{[m^2+m√(m^2+4m)]/2}
e^[(m^2+4m)/4]={[m^2+m√(m^2+4m)]/2}^m
懒得往下写了,就到这吧.
楼主只要解上面的方程,就能得到m了.