题目

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的零点为x₁，x₂（x₁＜x₂），函数f（x）的最小值为y₀，且y₀∈[x₁，x₂），则函数y=f（f（x））的零点个数是（　　）
A. 3
B. 4
C. 3或4
D. 2或3

提问时间：2021-01-07

答案

如图所示，
∵函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的零点为x₁，x₂（x₁＜x₂），∴△=b²-4ac＞0．
由f（f（x））=af²（x）+bf（x）+c=0，∵△＞0，
∴f（x）=x₁或f（x）=x₂．
∵函数f（x）的最小值为y₀，且y₀∈[x₁，x₂），画出直线y=x₂．y=x₁．
则直线y=x₂．与y=f（x）必有两个交点，此时f（x）=x₂．有2个实数根，即函数y=f（f（x））由两个零点．
直线y=x₁与y=f（x）可能有一个交点或无交点，此时f（x）=x₁有一个实数根x＝−

b

2a

或无实数根．
综上可知：函数y=f（f（x））的零点由2个或3个．
故选D．