题目

为什么无理数的测度为1而有理数的就为0啊?谁能给个回答?要实实在在的论证过程,不要东说西说的?

提问时间：2021-01-07

答案

因为有理数是可数集合,可数集合的测度都为0,因为有理数之外只剩无理数了,所以[0,1]上无理数的测度就为1了.
可数集体测度为0的简单证明如下：
任取e>0,（艾普西隆）
设[0,1]内有理数为{rn}（n是下标）
对于每个rn,可以用一个区间将其覆盖,(rn-e/2^(n+1),rn-e/2^(n+1))覆盖rn,区间长度为,e/2^n
这样将全体有理数覆盖后,我们来看所有区间的总长度,
覆盖r1的区间长度为：e/2
覆盖r2的区间长度为：e/2^2
覆盖r3的区间长度为：e/2^3
.
将以上区间长度相加结果为e,由于e的任意性,也就是覆盖全体有理数的区间长度可以任意小,因此只能为0.