题目

关于x的方程（m-8）x²-2（m-4）x-（m+2）=0至少有一个负根，求m的取值范围．

提问时间：2021-01-07

答案

（1）当m=8时，方程为-8x-10=0，
∴x=-

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，此时方程一定有负根；
（2）当m≠8，此时方程为一元二次方程，
∵x的方程（m-8）x²-2（m-4）x-（m+2）=0至少有一个负根，
可以假设方程没有一个负根，那么方程没有实数根或是两个非负根，设根为x₁，x₂，
∴△＜0或

△≥0 x1+x2≥0 x1•x2≥0

，
∴m²-7m＜0或

m2−7m≥0 2(m−4) m−8 ≥0 − m+2 m−8 ≥0

，
∴0＜m＜7或

m≤0或m≥7 m≤4或m＞8 −2≤m＜8

，
∴-2≤m＜7，
故所求m的取值范围为m＜-2或m≥7．

（1）当m=8时，方程为一元一次方程，此时方程一定有负根；
（2）当m≠8时，方程为一元二次方程，由于关于x的方程（m-8）x²-2（m-4）x-（m+2）=0至少有一个负根，可以假设方程没有一个负根，由此利用判别式和一元二次方程的根与系数的关系得到关于m的不等式组，解不等式组即可解决问题．

本题考点：根的判别式；根与系数的关系．

考点点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式与根的关系、根与系数的关系，解题是首先根据判别式、根与系数的关系得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可解决问题，此题比较难，对于学生分析问题，解决问题的能力要求比较高，平时注意训练．