题目

关于奇偶函数的一道题
设f(x）为定义在[-1,1]上的任一函数,证明f(x）可表示为一个奇函数和一个偶函数的和

提问时间：2021-01-07

答案

令f(x)=g(x)+h(x)
假设g(x)是奇函数,h(x)是偶函数
下面证明这两个函数一定存在
f(x)=g(x)+h(x) (1)
f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x) (2)
(1)+(2)
2h(x)=f(x)+f(-x)
h(x)=[f(x)+f(-x)]/2
g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
因为定义域关于原点对称
则只要x在定义域内,则-x也在定义域内
所以f(x)和f(-x)都有意义
所以g(x)和h(x)一定存在
所以f(x)可表示为一个奇函数和一个偶函数的和