题目

一位园林设计师要使用长为640cm的材料建造如图所示的花圃,该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成,每个扇环面如图所示,它是以点o为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点o的两条线段围成,为使得绿化效果最佳,还须使得扇环面的面积最大,求花圃面积的最大值

提问时间：2021-01-07

答案

设若使如图1花圃面积为最大,则必定要求图2扇环面积最大.
设图2扇环的圆心角为θ,面积为S,扇环周长为L,根据题意得：
L＝θπR/180+θπr/180+2(R-r)
180L=θπR+θπr+360(R-r)
180L-360(R-r)= θ(πR+πr)= θπ(R+ r)
θ＝[180L－360（R-r）]/ π(R+r)
S=θπR²/360-θπr²/360
=θπ(R²- r²)/360
=[180L－360（R-r）]/ π(R+r)×π(R²- r²)/360
=-(R-r)²+L(R-r)/2
=-[(R-r)²-L(R-r)/2+L²/16]+ L²/16
=-(R-r-L/4)²+ L²/16
∴ 当R-r－L/4＝0时,S有最大面积L²/16
∵ 640m要做四个完全相同的扇环
∴ L最大值为640/4=160
∴ 整个花圃最大面积为L²/16×4＝160²÷4＝6400m²
(注：(R-r)²表示(R-r)平方的意思,怕你看不清）