题目

一道数学解析几何题,椭圆,抛物线的
已知椭圆C1:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/3,直线l：y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴为半径的圆相切.
（1） 求椭圆C1的方程；
（2） 设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于l1于点P,线段PF2垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程.
（3）设C2和x轴交于Q,不同亮点R,S在C2上,且满足QR垂直于RS,求|QS|的取值范围.
第（2）问答案是y2=4x吧?我想知道第（3）问

提问时间：2021-01-07

答案

（1）:x²/3+y²/2=1
（2）：y²=4x.（你对了）
（3）：设R(x1,y1),S(x2,y2),（y1,y2不为0且不相等）而Q(0,0),OR垂直RS,故向量RS=(x2-x1,y2-y1)=(y2^2/4-y1^2/4,y2-y1)=( (y1+y2)/4,1),QR=（x1,y1)=(y1^2/4,y1)=(y1/4,1),
RS*QR=(y1^2+y1y2)/16+1=0,即y2=-(16/y1+y1)；
x2=y2^2/4=(64/y1^2+y1^2
+32)/4=16/x1+x1+8>=2根号16+8=16,即x2>=16.
|QS|^2=x2^2+y2^2=x2^2+4x2=(x2+2)^2-4>=18^2-4=320,|QS|>=8根号5.
运用向量垂直以及均值不等式即可求得!
合作愉快