题目

若方程|sinx|+cos|x|-a=0，在[-π，π]上有4个解，求a的取值范围．

提问时间：2021-01-07

答案

|sinx|+cos|x|-a=0，在[-π，π]上有4个解
⇔a=|sinx|+cos|x|，x∈[-π，π]有4个交点
令y=|sinx|+cos|x|，x∈[-π，π]=

sinx+cosx    x∈[0，π] −sinx+cosx    x∈[−π，0)

=

2 sin(x+ π 4 ) 2 cos(x+ π 4 )

图象如图所示：
故a的取值范围是：1＜a＜

2

将a分离出来，得到a=|sinx|+cos|x|，若方程|sinx|+cos|x|-a=0，在[-π，π]上有4个解，
即函数y=a和y=|sinx|+cos|x|，x∈[-π，π]有4个交点即可．故问题转化为研究y=|sinx|+cos|x|，x∈[-π，π]的图象问题．因为函数中含有绝对值，故可分段讨论．

本题考点：根的存在性及根的个数判断．

考点点评：本题考查方程根的个数问题，方程根的个数问题，往往转化为函数图象交点的个数问题．考查转化思想和数形结合思想．