题目

关于椭圆的
已知椭圆的方程,x29 + y24 =1 过点P（o,3)的直线顺次交椭圆于A,B两点.（1）求|AP|比|BP|的取值范围.（2）是否存在直线L,使得以A,B为直径的圆恰好过原点,若存在,求出直线L的方程,若不存在,说明理由.
注,点A在X轴上方,B在X轴下方.

提问时间：2021-01-07

答案

第一问很简单
直线与椭圆相切时|AP|/|BP|最大,|AP|/|BP|=1
直线与y轴重合时|AP|/|BP|最小,|AP|/|BP|=(3-2)/(3+2)=1/5
所以1/5≤|AP|/|BP|≤1
第二问
写出直线方程：y=kx+3
将它与椭圆方程联立,消去y,得：
x^2/9+(kx+3)^2/4=1
整理得：
(4+9k^2)x^2+54kx+45=0
设A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)则：
x1+x2=-54k/(4+9k^2)
x1*x2=45/(4+9k^2)
若以A,B为直径的圆过原点,则有：
y1/x1*y2/x2=-1
即
(kx1+3)*(kx2+3)/(x1*x2)=-1
整理得：
(1+k^2)x1*x2+3k(x1+x2)+9=0
把
x1+x2=-54k/(4+9k^2)
x1*x2=45/(4+9k^2)
代入上式,有
(1+k^2)*[45/(4+9k^2)]+3k*[-54k/(4+9k^2)]+9=0
整理得：
4k^2-9=0
解得
k=±3/2
所以直线L的方程为
y=±3/2x+3
有点儿长,哪里不懂再问吧……