题目

向量组（1）a1,……,an秩为r1,（2）b1,……,bn秩为r2且bi（i=1……n）均可由（1）线性表示,则（ ）
A 向量组a1+b1,……,an+bn的秩为r1+r2
B向量组a1-b1,……,an-bn的秩为r1-r2
C向量组a1,……,an,b1,……bn的秩为r1+r2
D向量组a1,……,an,b1,……bn的秩为r1

提问时间：2021-01-07

答案

选D.因为bi都可以被向量组(1)线性表示,所以将所有的bi加入(1)后,新组成的向量组的秩还是(1)的秩,即依旧是r1.这也是C项错误的原因.
A不一定正确,因为a1+b1,……,an+bn的秩不会超过总个数n,但是r1+r2是可以大于n的.（反例很容易举,比如这两个向量组都是满秩,即r1=r2=n,所以r1+r2=2n>n,产生矛盾.）
B也不一定正确,因为a1-b1,……,an-bn的秩不可能为0,但是r1-r2是可以等于0的.（反例也一样,比如这两个向量组都是满秩,即r1=r2=n,所以r1-r2=0,产生矛盾.）