题目

高二数学 直线与圆
已知圆C：（X+4)^2+Y^2=4,圆D的圆心D在Y轴上且与圆C外切.圆D与Y轴交于A、B两点,点P为（-3,0）.
（1）当点D在Y轴上运动时,就角APB的最大值.
（2）在X轴上是否存在定点Q,当圆D在Y轴上运动时,角AQB是定值?如果存在,求出点Q坐标；如果不存在,说明理由.

提问时间：2021-01-07

答案

设已知圆圆心为M1 相切圆圆心为M2
设相切圆方程为：
x^2+(y-a)^2=r^2 (a和r>0) (因为y轴上面和y轴下面的情况完全对称 所以考虑其中一种即可)
有勾股定理：
OM2^2+OM1^2=M1M2^2
所以a=根号下（2+r）^2-16
所以不妨设A（0,a+r） B（0,a-r）
kAP=(a+r)/3 kBP=(a-r)/3
将a=根号下（2+r）^2-16代入夹角公式计算后
得tg角APB=6r/(4r-3)
因为r>=2 要使6r/(4r-3)有最大值
即r=2 最大值为12/5
最大角为arctg12/5
若存在 设此点为（-b,0）
则夹角公式代入后得（其实就是将3替换成b）
2br/(b^2+2r-12) 因为r可取R+ 所以当且仅当b=0时 tg角AQB为定值
但可能为0或180度 所以不存在
瞎做瞎做~~~