题目

证明单调性
36）已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,x>=1,当a>=1/2时,证明f(x)的单调性,并求f(x)的最小值.
只要有大概的过程就好~
△y=(x1x2-a)(x2-x1)/x1x2;我怎么确定x1x2一定比a大呢？比如x1x2=2，a=3咋办啊~
没学过双钩函数和导数啊~

提问时间：2021-01-07

答案

令X1>X2>=1,
则F(X1)=2X1+2+A/X1,F(X2)=2X2+2+A/X2,
F(X1)-F(X2)=2X1-2X2+A/X1-A/X2=(X1-X2)(2-A/X1X2),
因为,X1>X2>=1,
所以,X1X2>1
因为,A>=1/2,
所以,X1>X2,2-A/X1X2>0,
所以,F(X1)-F(X2)>0
所以F(X1)>F(X2),
所以,F(X)单调递增.
根据重要不等式,f(x)=x+2+a/x>=2√X*A/X+2=2√A+2>=√2+2
所以,当且仅当x=a/x=√2/2时,取得等号.