题目

f(x)=a/x+xlnx>=1恒成立求a 的取值范围

提问时间：2021-01-07

答案

根据题意可知x∈（0,＋∞）
a/x+xlnx≥1恒成立,x∈（0,＋∞）
→a≥x－x²lnx,恒成立,x∈（0,＋∞）
令g（x）=x－x²lnx,x∈（0,＋∞）
则g ’（x）=1－2xlnx－x=1－（2xlnx＋x）
因为y=2x,y=lnx,y=x均为增函数,
所以y=2xlnx＋x为增函数,所以g ’（x）=1－（2xlnx＋x）为减函数
所以g ’（x）=1－（2xlnx＋x）与x轴只有一个交点.
令1－（2xlnx＋x）=0,解得x=1
所以当x∈（0,1）时,g ‘（x）＞0,g（x）单调递增；
当x∈（1,＋∞）时,g ‘（x）＜0,g（x）单调递减
所以当x=1时,g（x）最大值=g（1）=1,
所以g（x）≤1,即x－x²lnx≤1
又因为a≥x－x²lnx,恒成立,x∈（0,＋∞）
所以a≥1,即a∈（1,＋∞）