题目

实数a，b满足a³+b³+3ab=1，则a+b=______．

提问时间：2021-01-07

答案

由题意得：（a+b）（a²+b²-ab）+3ab=1
（a+b）[（a+b）²-3ab]+3ab=1
（a+b）（a+b）²-3ab（a+b）+3ab-1=0
[（a+b）³-1]-3ab（a+b-1）=0
（a+b-1）[（a+b）²+1+a+b]-3ab（a+b-1）=0
（a+b-1）[（a+b）²+1+a+b-3ab]=0
∴（a+b-1）=0或（a+b）²+1+a+b-3ab=0，
由（a+b）²-3ab+（a+b）+1=0整理得：a²-（b-1）a+（b²+b+1）=0，
又∵a，b是实数，所以上述方程有实数解，
dalta=（b-1）²-4（b²+b+1）≥0
也就是：（b+1）²≤0，
故：b=-1，代入上式解得a=-1，
所以此时a+b=-2；
综上所述可得：a+b=1或a+b=-2．
故答案为：1或-2．