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题目
已知函数f(x)=
3
sinx•cosx+sin2x

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)函数f(x)的图象可由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得出?

提问时间:2021-01-06

答案
(I)∵函数f(x)=
3
sinx•cosx+sin2x
=
3
2
sin2x+
1−cos2x
2
=sin(2x−
π
6
)+
1
2

∴函数f(x)的最小正周期为π; …(5分)
2kπ−
π
2
≤2x−
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)⇒kπ−
π
6
≤x≤kπ+
π
3
(k∈Z)

∴f(x)的单调递增区间是[kπ−
π
6
,kπ+
π
3
]
,(k∈Z). …(8分)
(Ⅱ)∵f(x)=sin(2x−
π
6
)+
1
2
=sin2(x−
π
12
)+
1
2

∴先由函数y=sin2x的图象向右平移
π
12
个单位,再把图象向上平移
1
2
个单位,即可得到函数f(x)的图象.…(12分)
(I)利用二倍角、辅助角公式化简函数,即可求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)利用“左加右减,上加下减”,即可得到结论.

二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

本题考查三角函数的化简,考查三角函数的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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