题目
n阶方阵A满足(A+I)^m=0,则|A|=
提问时间:2021-01-06
答案
首先证明幂零矩阵B=A+E的所有特征值均等于0.
这是因为B的任意特征值c有相应的特征向量,即非零向量v满足Bv=c*v.
B^m=0,所以0=(B^m)v=(c^m)*v,v非零故只有c^m=0,所以c=0.
B=A+E的特征值都为0,即B的特征多项式为λ^n.
所以A的特征多项式|λE−A|=|(λ+1)E−B|=(λ+1)^n,于是A的特征值都为-1.
而|A|等于A的全体特征值的乘积,故|A|=(-1)^n.
这是因为B的任意特征值c有相应的特征向量,即非零向量v满足Bv=c*v.
B^m=0,所以0=(B^m)v=(c^m)*v,v非零故只有c^m=0,所以c=0.
B=A+E的特征值都为0,即B的特征多项式为λ^n.
所以A的特征多项式|λE−A|=|(λ+1)E−B|=(λ+1)^n,于是A的特征值都为-1.
而|A|等于A的全体特征值的乘积,故|A|=(-1)^n.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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