题目

设集合A=x|x²+2x-3＞0},集合B=x²-2ax-1≤0,a＞0}若A∩中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是（）
答案是[3╱4,4╱3),怎么来的?

提问时间：2021-01-06

答案

A={x|（x-1）（x+3）＞0}={x|x＞1或x＜-3}
B：设f（x）=x^2-2ax-1的两根为x1＜x2,因为x1x2=-1＜0,所以根一正一负
因此B={x| x1≤x≤x2}
∵A∩B恰含有一个整数,有2种情况：
①含有整数2,此时2≤x2＜3,-4＜x1＜0,
则有f（-4）＞0,f（2）≤0,f（3）＞0
即16+8a-1＞0,4-4a-1≤0,9-6a-1＞0
得：a＞-15/8,a≥3/4,a＜4/3
即 3/4≤a＜4/3
②含有整数-4,此时-5＜x1≤-4,x2＜2,
则有f（-5）＞0,f（-4）≤0,f（2）＞0
即25+10a-1＞0,16+8a-1≤0,4-4a-1＞0
得：a＞-12/5,a≤-15/8,a＜3/4
即-12/5＜a≤-15/8
因为a＞0,所以舍去②.
终上所述：a的取值范围是[3/4,4/3）