题目

知已正三棱锥中,底面边长为3,侧棱长为,求此正三棱锥的体积及内切球的表面积.
侧棱长为根号6

提问时间：2021-01-06

答案

正三棱锥顶点P在底面ABC的投影D是等边三角形ABC的中心.
易知AD=根号3,从而 PD=根号(PA^2-AD^2)=根号3.
棱锥体积为 PD*三角形ABC面积/3=9/4.
延长AD交BC于E,则AE为BC的中垂线.连接PE,
易知AE=3*(根号3)/2,PE=(根号15)/2.
在PD上取一点Q,使该点到底面的距离和该点到棱面的距离相等,
即过Q点作面PBC的垂线QF,使QD=QF.
则QF必与PE相交于点F,且QF为内切圆的半径.
直角三角形PQF与PED相似,有 PQ/QF=PE/ED. 即PD/QF-1=PE/ED,
又ED=(根号3)/2, 得内切圆半径 QF=(根号3)/(1+根号5).
内切球的表面积 4πQF^2=3π(3-根号5)/2.