题目

设（5x-

1

x

）ⁿ的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=56，则展开式中常数项为______．

提问时间：2021-01-06

答案

令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为M=4ⁿ，
二项式系数和为N=2ⁿ，
由M-N=56，得n=3，
∴（5x-

1

x

）ⁿ=（5x-

1

x

）³
其展开式的通项为 T_r+1=（-1）^r5^3-r

C

r 3

x3−

3r

2

令3-

3r

2

=0得r=2代入通项，
解得常数项为15．
故答案为：15．

通过给二项式中的x赋值1求出展开式的各项系数和；利用二项式系数和公式求出二项式系数和，代入M-N=56求出n；利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，令x的指数为0，求出常数项．

本题考点：二项式定理的应用．

考点点评：本题考查求二项展开式的各项系数和问题常用赋值法、考查二项式系数和公式、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．