题目

小于8且分母为24的最简分数共有______个；这些最简分数的和是______．

提问时间：2021-01-06

答案

24=2³×3
8×24=192 所有小于192且不能被2、3整除的数为分子则满足题意
也即所有6N+1＜192和6N+5＜192（N为自然数）N的个数总和．
6N+1＜192解得N＜32，也就是小于32的自然数都符合，即32个．
同理可得6N+5＜192解得N＜32，N的个数也是32个．
故：32+32=64（个）
由上面的两个不等式可知，小于8且分母为24的最简分数的分子是两个等差数列组成的，即一个是1，7，13…，另一个是5，11，17…，它们的公差都是6，而且个数都是32个．
由等差公式求和公式可得：32×1+[32×（32-1）×6]÷2=3008
32×5+[32×（32-1）×6]÷2=3136
分子和就是：3008+3136=6144
这些最简分数的和是：6144÷24=256
故填：64，256．