题目

如图,已知圆内接四边形abcd对角线ac,bd交于点e,点f在对角线ac上
如图,已知圆内接四边形abcd对角线ac、bd交于点e,点f在对角线ac上,且满足角adf=角cde,角abf=角cbe,若bf=a,df=b,请用含a、b的代数式表示ac的长

提问时间：2021-01-06

答案

∵ABCD为圆内接四边形 【已知】
∴∠BAC=∠BDC,∠CBD=∠CAD 【相同圆弧所对的同侧圆圆周角相等】
即：∠BAF=∠CDE,∠CBE=∠FAD
又：∠ADF=∠CDE,∠ABF=∠CBE 【已知】
∴∠BAF=∠ADF,∠FAD=∠ABF
又：△ABF∽△DAF 【两对应角相等,三角形相似】
∴AF/DF=BF/AF 【相似三角形对应边成比例】
即：AF²=BF×DF=a×b
AF=√(a×b）
∵∠ABD=∠ABF+∠FBD,∠FBC=∠CBE+∠FBD
又：∠ABF=∠CBE 【已知】
∴∠ABD=∠FBC
又：ABCD为圆内接四边形 【已知】
∴∠ABD=∠ACD 【相同圆弧所对的同侧圆圆周角相等】
∴∠FBC=∠ACD
即：∠FBC=∠FCD
同理：∠FDC=∠FCA
∴△FBC∽△FCD 【两对应角相等,三角形相似】
∴FA/FC=FC/FD 【相似三角形对应边成比例】
∴FC²=FA×FD=a×b
FC=√(a×b)
∴AC=AF+FC=2√(a×b)