题目

在四面体ABCD中，已知棱AC的长为

2

，其余各棱的长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值是（　　）
A.

1

2

B.

1

3

C.

3

3

D.

2

3

提问时间：2021-01-06

答案

由已知可得AD⊥DC
又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A-CD-B的平面角
∵EF=

1

2

（三角形ACD的中位线），BE=

3

2

（正三角形BCD的高），BF=

2

2

（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）
∴cos∠BEF=

EF2+BE2-BF2

2×BE×EF

=

1 4 + 3 4 - 1 2

2× 3 2 × 1 2

=

3

3

故选C．

先作出二面角A-CD-B的平面角，再利用余弦定理求解即可．

本题考点：二面角的平面角及求法．

考点点评：本题考查二面角的平面角，考查余弦定理，正确作出二面角的平面角是关键．