题目

在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．

提问时间：2021-01-05

答案

证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，
即∠EMD=∠FND=90°，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分线性质），
∵∠EAF+∠EDF=180°，
∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°，
∵∠AFD+∠NFD=180°，
∴∠MED=∠NFD，
在△EMD和△FND中

∠MED＝∠DFN ∠DME＝∠DNF DM＝DN

，
∴△EMD≌△FND（AAS），
∴DE=DF．

过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定和角平分线定义的应用，关键是正确作辅助线，进一步推出△EMD和△FND全等，通过做此题培养了学生运用定理进行推理的能力．