题目

求幂级数∑x^n/n*2^n的收敛区间?
∑x^n/n*2^n ∑上面是∞,下面是n=1

提问时间：2021-01-05

答案

幂级数{An},通项An=x^n/n*2^n ,
后项比前项得:
Limit[A[n]/A[n-1],n→+∞]=
Limit[x(n-1)/(2n),n→+∞]=
Limit[x/2,n→+∞]=
x/2,
令x/2≤1得,收敛半径为x=2,
然后对于边界上情况,|x/2|=1对应的x=±2分别讨论,
当x=2时,
原级数变为A[n]=2^n/(2^n*n)=1/n,此为调和级数,发散.
当x=-2时,
原级数变为A[n]=(-2)^n/(2^n*n)=(-1)^n/n,此为交错级数,
对于交错级数只需要后项的绝对值小于前项的绝对值就收敛,所以该级数收敛.
所以收敛区间为x∈[-2,2),即-2≤x＜2.