题目

一道微分方程式的应用题
有一个加热装置,没有加热时的温度方程式是dx/dt = -x 加热时的温度方程式是dx/dt = 1 - x
第一问为时间0时的初始条件为x(0) = x0的情况下,求上述2个方程式的解.
第二问是设温度θ0 θ1且0
非常感谢，完美的解答。
第四问还想再请教一下，1个周期内温度的时间平均值设为x = 1/τ ∫ t1+τ t1 x(t)dt，平均临界值为θ = （θ0+θ1）/2。
这2个值的差x-θ = 1/τ ∫ t1+τ t1 (x(t) - θ)dt，可以用函数f(x, θ)，且x-θ = 1/τ ∫ θ1 θ0 f(x,θ)dx来表示。
求这个函数f(x, θ)。

提问时间：2021-01-05

答案

一、(1) x=x0*exp(-t); (2) x=1-(1-x0)*exp(-t);
二、温度x0→θ0过程,满足第一个微分方程.
那么有 θ0=x0*exp(-t1); 求出 t1=ln(x0/θ0);
三、温度变化一个周期的过程是：θ0→加热时间T1→θ1→不加热时间T2→θ0；
则,T1满足：θ1=1-(1-θ0)*exp(-T1)；==> T1=ln{(1-θ0)/(1-θ1)}
T2满足：θ0=θ1*exp(-t)；==> T2=ln(θ1/θ0);
所以 T=T1+T2=ln{(1-θ0)/(1-θ1)}+T2=ln(θ1/θ0).