题目

已知定点A（2，0），P点在圆x²+y²=1上运动，∠AOP的平分线交PA于Q点，其中O为坐标原点，求Q点的轨迹方程．

提问时间：2021-01-05

答案

在△AOP中，∵OQ是ÐAOP的平分线
∴

|AQ|

|PQ|

＝

|OA|

|OP|

＝

2

1

＝2
设Q点坐标为（x，y）；P点坐标为（x₀，y₀）
∴

x＝ 2+2x0 1+2 y＝ 0+2y0 1+2

即

x0＝ 3x−2 2 y0＝ 3 2 y

，
∵P（x₀，y₀）在圆x²+y²=1上运动，∴x₀²+y₀²=1
即(

3x−2

2

)2+(

3

2

y)2＝1，
∴(x−

2

3

)2+y2＝

4

9

，
此即Q点的轨迹方程．

设点Q的坐标为（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），由三角形内角平分线定理写出方程组，解出x₀和y₀，代入已知圆的方程即可．此求轨迹方程的方法为相关点法．

本题考点：轨迹方程．

考点点评：本题考查相关点法求轨迹方程．在用此法时，注意要将要求的动点坐标设为（x，y），最后求得的x与y的关系式即为所求．