题目

正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AB的中点,求DB1与CM所成角的余弦值

这是图

提问时间：2021-01-05

答案

以D为原点,DA、DC、DD1所在的直线依次为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,使A、C、D1落在坐标轴的正半轴上.利用赋值法,令正方体的棱长为2.则有：
D（0,0,0）、C（0,2,0）、M（2,1,0）、B1（2,2,2）.
∴向量DB1＝（2,2,2）、向量CM＝（2,－1,0）,
∴向量DB1·向量CM＝2×2＋2×（－1）＋2×0＝2.
　｜向量DB1｜＝√（4＋4＋4）＝2√3、｜向量CM｜＝√（4＋1＋0）＝√5.
∴cos＜DB1、CM＞
＝向量DB1·向量CM/（｜向量DB1｜｜向量CM｜）＝2/（2√3×√5）＝√15/15.
∴DB1与CM所成角的余弦值是√15/15.