题目

若关于x的方程x^2-zx+24+7i=0的方程有实数根,求复数z的模的最小值和此时z的值.

提问时间：2021-01-04

答案

设z=a+bi
则可得,x² -x(a+bi) +24 +7i=(x²-ax+24) +(7-bx)i=0
则可得,{ 7-bx=0 ……（1）
{ x²-ax+24=0,……（2）
由（1）可得,x=7/b,由（2）得,a=x+24/x=7/b+ 24/(7/b)
所以,|Z|²=a²+b²=[7/b+24/(7/b)]² + b²
=48+625b²/49 + 49/b²
≥ 48 + 2√[(625b²)/49 * 49/b² ]
= 48 + 50
=98
所以,|Z| ≥ √98=7√2,
当且仅当625b²/49=49/b²成立时,|Z|取得最小值7√2,
即b^4=(7/5)^4,所以,b=±7/5,代入（2）式则得,a=±49/5
所以,z=49/5 + 7i/5,或z=-49/5 - 7i/5