题目

sin的立方a+cos的立方a=1,求sina+cosa与sin的四次a+cos的四次a的值

提问时间：2021-01-04

答案

sin³a+cos³a=1
(sina+cosa)(sin²a-sinacosa+cos²a)=1
即(sina+cosa)(1-sinacosa)=1
令 sina+cosa=t,则t²=1+2sinacosa,
所以 sinacosa=(t²-1)/2,
从而 条件化为
t[1-(t²-1)/2]=1
整理,得 t³ -3t+2=0
变形 t³ -t²+t²-t -2t+2=0
t²(t-1)+t(t-1)-2(t-1)=0
(t-1)(t²+t-2)=0
(t-1)²(t+2)=0
因为 t=sina+cosa=√2sin(a+π/4),从而 |t|≤√2
所以 t+2不为0,从而 t=1
即 sina+cosa=1
从而 sinacosa=(t²-1)/2=0
所以 sin⁴a+cos⁴a=(sin²a+cos²a)²-2sin²acos²a=1-0=1