题目

已知函数f(x)=-xˆ2+2x,若存在实数t,当x∈(1.2)时,-f(x+t)>x恒成立,求t的取值范围
这个题没什么思路，用变量分离还是其他什么？

提问时间：2021-01-04

答案

（1）直线y=x与曲线y=f（x-3）的交点可由
y=xy=(x-2)2⇒x²-5x+4=0
求得交点为（1,1）和（4,4）,
此时y=f（x-3）在区间[1,4]上图象在直线y=x的下面,
即f（x-3）≤x恒成立,所以m的最大值为4．
（2）设曲线上关于直线y=x的对称点为A（x₁,y₁）和B（x₂,y₂）,
线段AB的中点M（x₀,y₀）,直线AB的方程为：y=-x+b．
y=(x+1+t)2y=-x+b⇒x²+（2t+3）x+（t+1）²-b=0
△=（2t+3）²-4[（t+1）²-b]=4t+5+4b＞0（1）
x₁+x₂=-2t-3,x₀=-2t+32,
y₀=-x₀+b=2t+32+b
又因为AB中点在直线y=x上,所以y₀=x₀
即-2t+32=2t+32+b
得b=-2t-3,代入（1）式4t+5+4b＞0,得t＜-74．