题目

已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+a)+3b在x=0出取得极值0.
(1)求实数a,b的值(这个问题可以不做,主要解答下第3个问题)
(2)若关于x的方程f(x)=5/2*x+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数n>1,不等式1+1/2+1/3+……+1/n-1>ln{(n+1)/2}(是2分之n+1)
若关于x的方程f(x)=5/2*x+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,(2分之5乘以x)

提问时间：2021-01-04

答案

(1)求实数a,b的值
已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+a)+3b在x=0出取得极值0.
f'(x)=2x+1-1/(x+a)
f' (0)=0=1-1/a,得a=1
f (0)=0=3b-ln[a],得b=0
所以：f(x)=x^2+x-ln[x+1]
(2)若关于x的方程f(x)=5x/2+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围；
f(x)=x^2+x-ln[x+1]=5x/2+m
化简得：x^2-3x/2-ln[x+1]-m=0
记g(x)= x^2-3x/2-ln[x+1]-m
g(x)的定义域为：x>-1
由g’(x)=2x-3/2-1/(x+1)=0,解得：x=-5/4（舍去）或1
所以g(x)只有一个极值点x=1,位于[0,2],且取得最小值.
所以在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,要求：
g(1)ln{(k+1)/2}成立
则n=k+1时,
左边=1+1/2+1/3+……+1/k-1+1/k>ln{(k+1)/2}+1/k
右边=ln{(k+2)/2}
目标证明：
ln{(k+1)/2}+1/k>ln{(k+2)/2}
等价：1/k>ln{(k+2)/2}-ln{(k+1)/2}=ln[(k+2)/(k+1)]
等价：e^(1/k)>(k+2)/(k+1)=1+1/(k+1)
等价：e>{1+1/(k+1)}^k
由于f(k)={1+1/(k+1)}^k的极限为e,且为递增函数.
所以e>{1+1/(k+1)}^k成立.
因此n=k+1时,不等式也成立
即对于所有n>1不等式1+1/2+1/3+……+1/n-1>ln{(n+1)/2}成立.
故得证.