题目

f(x)=2log3(x-a)-log3(x+3) x在（-3,正无穷上 f（x）大于等于0恒成立 求a的取值范围

提问时间：2021-01-04

答案

f(x)=2log3(x-a)-log3(x+3)
= log3(x-a)²-log3(x+3)
= log3[(x-a)²/(x+3)]
x∈（-3,+∞）,f(x)≥0
(x-a)²/(x+3)≥1
(x-a)²≥(x+3)
x²-(2a+1)x+a²-3≥0
g(x)=x²-(2a+1)x+a²-3开口向上

在f(x)中,∵负数无对数,∴x-a＞0,∴a＜x,又∵x∈（-3,+∞）,∴必须满足a≤-3,log3(x-a)才有意义.

对于g(x)
（一）
当判别式△≤0时,g(x)图像始终在x轴上方
此时△=(2a+1)²-4(a²-3）=4a+13≤0,a≤-13/4
（二）
当判别式＞0时,即a＞-13/4时,g(x)与x轴有两个交点,只需其右交点x2不在（-3,0）左侧即可,此时：
x2=[(2a+1)+√△]/2=[(2a+1)+√(4a+13)]/2≥-3
2a+1+√(4a+13)≥-6
√(4a+13)≥-7-2a
∵a＞-13/4
∴-2a＜13/2,-7-2a＜-1/2
∴a＞-13/4时√(4a+13)≥-7-2a恒成立
又：a≤-3
∴-13/4＜a≤-3

综上,a≤-3