题目

设直线l:y=kx+m(其中k 、m 为整数)与椭圆12x?+16y?=192交与不同两点A、B,与双曲线x?/4－y?/12=1交与不同两点C、D,问是否存在直线l,使得向量AC＋BD=0,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由

提问时间：2021-01-04

答案

做出图形观察可知道,要使向量AC+BD=0成立,必须有线段AB与CD的中点为同一个点.
它们的横坐标相等.于是将直线方程代入椭圆得到(3+4K^2)X^2+8kmX+4m^2-48=0,他一定有两个不同的根.所以有64k^2*m^2-16(m^2-12)(3+4k^2)>0,即16k^2-m^2+12>0,且两根的和的一半即为AB的中点的横坐标为X1=-4km/(3+4k^2),同理得到代入双曲线有两根的条件为m^2-4k^2+12>0两根的和的一半即为CD的中点的横坐标为X2=km/(3-k^2),
X1=X2,所以得到km=0.
当k=0时,12-m^2>0且m^2+12>0,有m为整数,所以m=-3,-2,-1,0,1,2,3.
当m=0时,16k^2+12>0且,12-4k^2>0,又k为整数,所以k=-1,0,1.所以满足条件的直线一共有9条.