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题目
已知双曲线x2-
y2
2
=1
,经过点M(1,1)能否作一条直线l,使直线l与双曲线交于A、B,且M是线段AB的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,说明理由.

提问时间:2021-01-03

答案
设过点M(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1
(1)当k存在时有
y=k(x−1)+1
x2 −
y2
2
=1

得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0    (1)
当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有
△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,k<
3
2
   
又方程(1)的两个不同的根是两交点A、B的横坐标
∴x1+x2=
2(k−k2)
2−k2
    又M(1,1)为线段AB的中点
x1+x2
2
=1   即
k−k2
2−k2
=1
   k=2 
∴k=2,使2-k2≠0但使△<0
因此当k=2时,方程(1)无实数解
故过点m(1,1)与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在.
(2)当x=1时,直线经过点M但不满足条件,
综上,符合条件的直线l不存在
先假设存在这样的直线l,分斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程,当k存在时,与双曲线方程联立,消去y,得到关于x的一元二次方程,直线与双曲线相交于两个不同点,则△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,k<
3
2
,M是线段AB的中点,则
x1+x2
2
=1,k=2 与k<
3
2
矛盾,当k不存在时,直线经过点M但不满足条件,故符合条件的直线l不存在

双曲线的应用.

本题考察了直线与双曲线的位置关系,特别是相交时的中点弦问题,解题时要特别注意韦达定理的重要应用,学会判断直线与曲线位置关系的判断方法

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