题目

已知双曲线x²-

y2

2

＝1，经过点M（1，1）能否作一条直线l，使直线l与双曲线交于A、B，且M是线段AB的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，说明理由．

提问时间：2021-01-03

答案

设过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1
（1）当k存在时有

y＝k(x−1)+1 x2 − y2 2 ＝1

得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0    （1）
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

   
又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标
∴x₁+x₂=

2(k−k2)

2−k2

    又M（1，1）为线段AB的中点
∴

x1+x2

2

=1   即

k−k2

2−k2

＝1   k=2 
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程（1）无实数解
故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．
（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在

先假设存在这样的直线l，分斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程，当k存在时，与双曲线方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

，M是线段AB的中点，则

x1+x2

2

=1，k=2 与k＜

3

2

矛盾，当k不存在时，直线经过点M但不满足条件，故符合条件的直线l不存在

本题考点：双曲线的应用．

考点点评：本题考察了直线与双曲线的位置关系，特别是相交时的中点弦问题，解题时要特别注意韦达定理的重要应用，学会判断直线与曲线位置关系的判断方法