题目

一：已知二次函数f（x)=ax^2+x,若对任意x1.x2属于整个实数集,恒有2f（(x1+X2)/2)

提问时间：2021-01-03

答案

一、把函数表达式直接带入2f（(x1+X2)/2)<=F(X1)+F(X2)可求得a>0,从而求得集合A=（-1/a,0）
B=（-a-4,a-4）不为空,B是A的子集所以a-4<=0且-a-4>=-1/a,所以a的范围为0到-2+2根号5
二、（1）f(kx)=akx+b,k/2+f(x)=k/2+ax+b,所以a=ak且b=b+k/2,k不存在,所以一次函数不属于M
（2）f(kx)=log2(kx)=log2(k)+log2(x)
k/2+f(x)=k/2+log2(x),log2(k)=k/2,k^2=2^k,所以k=2
三、设函数f(x)=ax^3-2bx^2+cx+4d(a,b,c,d属于R）的图像关于原点对称,可求得b=d=0,f(x)=ax^3+cx
一阶导数f'(x)=3ax^2+c=0时,有一个解为x=1,所以3a+c=0;f(1)=a+c=-2/3,所以a=1/3,c=-1
f'(x)=3ax^2+c=x^2-1为在x处切线斜率.
（1）假设存在,则f'(x1)=-1/f'(x2)
（x1^2-1)(x2^2-1)=-1,
2=x1^2+x2^2-x1^2*x2^2>=2|x1x2|-x1^2*x2^2,因为x1和x2在-1至1之间,所以不等式恒不成立,所以不存在符合题意的两个点
（2）在[-1,1]范围内f'(x)=x^2-1<0,所以f(x)单调递减.最大值f(-1)=2/3,最小值f(1)=-2/3,因此得证