题目

已知向量

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（　　）
A. [-2，2]
B. [-2，3]
C. [-3，2]
D. [-3，3]

提问时间：2021-01-03

答案

∵

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），
又∵

a

⊥

b

∴（x+z）×2+3×（y-z）=2x+3y-z=0，
即z=2x+3y
∵满足不等式|x|+|y|≤1的平面区域如下图所示：
由图可知当x=0，y=1时，z取最大值3，
当x=0，y=-1时，z取最小值-3，
故z的取值范围为[-3，3]
故选D

根据平面向量的垂直的坐标运算法则，我们易根据已知中的

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），

a

⊥

b

，构造出一个关于x，y，z的方程，即关于Z的目标函数，画了约束条件|x|+|y|≤1对应的平面区域，并求出各个角点的坐标，代入即可求出目标函数的最值，进而给出z的取值范围．

本题考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；简单线性规划的应用．

考点点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，简单线性规划的应用，其中利用平面向量的垂直的坐标运算法则，求出目标函数的解析式是解答本题的关键．