题目

高数几个问题（求过程）
1、求证：方程cosx-xsinx=0,在（0,π/2）内至少有一个实根（用罗尔定律）
2、已知x＾3+ysinx+e＾y=1,求dy
3、y=sin＾2（x）,求dy
4、已知y=arctant,x=ln（1+t＾2）,求dy/dx
5、设y=xe＾（2x）,求d＾2（y）/dx＾2
6、,求lim（x→0）（（e＾x）-1）/sinx
7、求lim（n→∞）（（5n＾2）-n）/（n+1）（n-3）
8、已知f（x）={（e＾x）-1,x大于等于0；x＾2,x小于0,请判断f（x）在0上是否连续
9、求函数f（x)=（x＾3）-3x+1的导数为零的点

提问时间：2021-01-03

答案

1、罗尔定理简述：f(a)=f(b),则在区间(a,b)上至少有一点ξ,使得f'(ξ)=0
设f(x)=cosx-xsinx,则F(x)=∫f(x)dx=∫(cosx-xsinx)dx=xcosx+C
F(x)在[0,π/2]上连续,在(0,π/2)上可导,且有F(0)=F(π/2)=0+C
∴根据罗尔定理,在区间(0,π/2)上,至少存在一点ξ,使得 F'(ξ)=0
而F'(x)=f(x),∴至少存在一点ξ,使得 f(ξ)=cosx-xsinx=0
即 方程cosx-xsinx=0,在(0,π/2)内至少有一个实根ξ
2、x^3+ysinx+e^y=1,两边取微分,可得
3x^2dx+sinx*dy+ycosxdx+e^y*dy=0
∴dy=(3x^2+ycosx)/(sinx+e^y)*dx
3、y=(sinx)^2,dy=2sinx*dsinx=2sinxcosxdx=sin2xdx
4、y=arctanx,x=ln(1+t^2),是求dy/dt吧?
dy/dx=1/(1+x^2),dx/dt=2t/(1+t^2)
dy/dt=dy/dx*dx/dt=1/(1+x^2)*2t/(1+t)^2
5、y=xe^(2x),dy/dx=e^(2x)+x*e^(2x)*2=(1+2x)e^(2x)
d^2y/dx^2=2e^(2x)+(1+2x)e^(2x)*2=4(1+x)e^(2x)
6、lim[(e^x-1)/sinx] x->0
=lim[x/sinx] 等价无穷小替换：e^x-1~x
=lim[1/(sinx/x)]
=1/lim(sinx/x)
=1/1 直接应用极限结果：lim(sinx/x)=1 (x->0)
=1
7、lim[(5n^2-n)]/[(n+1)(n-3)] n->∞
=lim[(5n^2-n)]/[(n^2-2n-3)]
=lim[(10n-1)/(2n-2)] 洛必达法则
=lim[10/2]
=5
8、x≥0时,limf(0)=e^0-1=0 x->+0
x-0
f(x)从左右趋近于0时,左右极限相等,故f(x)在0说连续
9、f(x)=x^3-3x+1,f'(x)=3x^2-3
导数为0时,有 f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=0
∴解得 x=±1,此时f(1)=1-3+1=-1,f(-1)=-1+3+1=3
∴导数为0的点为(1,-1),(-1,3)