题目

如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E．

（1）求证：PA=PE；
（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；
（3）在（2）的条件下，当P滑动到BD的延长线上时（如图3），请你直接写出AP：PE的比值．

提问时间：2021-01-03

答案

（1）证明：过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴∠MPB=45°=∠ABD，
∴PM=BM，
同理BP=BN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°=∠BMP=∠BNP，
∴四边形BMPN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠APE=90°，
∴都减去∠MPE得：∠APM=∠NPE，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNE，
在△APM和△EPN中

∠AMP＝∠ENP PM＝PN ∠APM＝∠EPN

∴△APM≌△EPN（ASA），
∴AP=PE；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠C=90°，
∵∠PMB=ϖPNB=90°，
∴PM∥AD，PN∥CD，
∴△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，
∴

PM

AD

=

BP

BD

，

PN

CD

=

BP

BD

，
∴

PM

AD

=

PN

CD

，
∴

PM

PN

=

AD

CD

=

10

8

=

5

4

，
∵∠AMP=∠ENP=90°，∠MPA=∠EPN，
∴△APM∽△EPN，
∴

AP

PE

=

PM

PN

=

5

4

，
AP：PE=5：4；
（3）AP：PE=5：4．

（1）过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，四边形BMPN是正方形，得出PM=PN，∠MPN=90°，求出∠APM=∠NPE，∠AMP=∠PNE，证△APM≌△EPN，推出AP=PE即可；
（2）证△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出

PM

AD

=

BP

BD

，

PN

CD

=

BP

BD

，推出

PM

AD

=

PN

CD

，求出

PM

PN

=

AD

CD

=

5

4

，证△APM∽△EPN，推出

AP

PE

=

PM

PN

即可；
（3）过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，证△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出

PM

AD

=

BP

BD

，

PN

CD

=

BP

BD

，推出

PM

AD

=

PN

CD

，求出

PM

PN

=

AD

CD

=

5

4

，证△APM∽△EPN，推出

AP

PE

=

PM

PN

即可．

本题考点：相似形综合题．

考点点评：本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，证明过程类似．