题目

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足

OC

=α

OA

+β

OB

，其中α，β∈R且α+β=1，求点C的轨迹及其轨迹方程．

提问时间：2021-01-03

答案

C点满足

OC

=α

OA

+β

OB

，且α+β=1，由共线向量定理可知，A、B、C三点共线．
∴C点的轨迹是直线AB
又A（3，1）、B（-1，3），
∴直线AB的方程为：

y−1

3−1

＝

x−3

−1−3

整理得x+2y-5=0
故C点的轨迹方程为x+2y-5=0．

通过点C满足

OC

=α

OA

+β

OB

，其中α、β∈R，且α+β=1，知点C在直线AB上，利用两点式方程，求出直线AB的方程即求出点C的轨迹方程．

本题考点：轨迹方程；平面向量的基本定理及其意义．

考点点评：考查平面向量中三点共线的充要条件及知两点求直线的方程，是向量与解析几何综合运用的一道比较基本的题，难度较小，知识性较强．