题目

已知等差数列{a_n}的前n项的和记为S_n．如果a₄=-12，a₈=-4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求S_n的最小值及其相应的n的值；
（Ⅲ）从数列{a_n}中依次取出a1，a2，a4，a8，…，a2n-1，…，构成一个新的数列{b_n}，求{b_n}的前n项和．

提问时间：2021-01-03

答案

（Ⅰ）设公差为d，由题意，可得

a4=-12 a8=-4

⇔

a1+3d=-12 a1+7d=-4

，解得

d=2 a1=-18

，
∴a_n=2n-20…（3分）
（Ⅱ）由数列{a_n}的通项公式a_n=2n-20得：
当n≤9时，a_n＜0，
当n=10时，a_n=0，
当n≥11时，a_n＞0．
∴当n=9或n=10时，S_n取得最小值，又S_n=

[-18+(2n-20)]•n

2

=（n-19）•n
∴S₉=S₁₀=-90…（6分）
（Ⅲ）记数列{b_n}的前n项和为T_n，由题意可知bn=a2n-1=-18+(2n-1-1)×2=2n-20，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2¹-20）+（2²-20）+（2³-20）+…+（2ⁿ-20）
=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-20n=

2-2n+1

1-2

-20n
=2ⁿ⁺¹-20n-2…（12分）

（Ⅰ）可设等差数列{a_n}的公差为d，由a₄=-12，a₈=-4，可解得其首项与公差，从而可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）得到数列{a_n}的通项公式a_n=2n-20，可由

an≤0 an+1≥0

求得n取何值时S_n取得最小值，然后由求和公式可求得答案；
（Ⅲ）根据题意求得bn＝a2n−1＝−18+(2n−1−1)×2＝2n−20，利用分组求和法可求得数列{b_n}的前n项和为T_n．

本题考点：等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和．

考点点评：本题考查等差数列的通项公式，及数列求和公式，本题解答中的亮点在于利用等差数列的通项公式分析S_n的最值，显然比利用其求和公式，通过二次函数的配方法求最值方便的多．