题目

四边形ABCD的对角线AC BD交于点P,过P点作直线交AD于E,交BC于F 若PE=PF
且AP+AE=CP+CF
1.求证 PA=PC
2.若AD=12 AB=15 角DAB=60度 求ABCD的面积?

提问时间：2021-01-03

答案

（1）证明：从E、F分别做AC垂线,垂足为M、N
在△PEM和△PFN中
∠EMP=∠FNP=90
∠EPM=∠FPN（对顶角）
PE=PF.
所以△PEM≌PFN.PM=PN,EM=FN
因为AP+AE=CP+CF
所以AP-PM+AE=CP-PN+CF
即AE+AM=CF+CN①
在RT△AEM中,AE²-AM²=EM²
在RT△CFN中,CF²-CN²=FN²
因此AE²-AM²=CF²-CN²②
将①、②比较,运用平方差公式,AE-AM=CF-CN③
①-③,2AM=2CN,所以AM=CN
又因为PM=PN,所以AM+PM=CN+PN.因此AP=CP
（2）从D做AB垂线,交AB于H
因为AP=CP,所以△ADP和△CDP等底等高,面积相等,因此S△ADP=S△ACD/2
△ABP和△CBP等底等高,面积相等,因此S△ABP=S△ACB/2
所以S△ADP+S△ABP=（S△ACD+S△ACB）/2
即S△ABD=S四边形ABCD
在RT△AHD中,∠DAH=60°,所以DH=√3AD/2=6√3
S△ABD=1/2×AB×DH=45√3
所以S四边形ABCD=90√3